Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos

O número chegou inclusive a ter um papel de destaque no romance cult Ratner's Star (A Estrela de Ratner), de 1976, do aclamado autor pós-moderno americano Don DeLillo. Na obra, um grupo de cientistas tenta decifrar o significado de uma mensagem transmitida por uma estrela distante da Via Láctea: esses seis dígitos.

Para os mágicos, ele é especialmente atraente porque permite surpreender o público, criando a ilusão de que podem prever o que vai acontecer ou ler mentes, aproveitando suas peculiares propriedades numéricas.

Um dos truques que qualquer um de nós pode fazer começa pedindo à pessoa que você quer impressionar que pegue a calculadora do celular e escreva 10101.

Depois, sem olhar, diga para ela multiplicar esse número por qualquer número de 1 a 6, dividi-lo por 7 e, em seguida, multiplicá-lo por 99.

Com absoluta confiança, declare que o resultado contém exatamente os dígitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8.

Mas afinal, o que torna esse número tão peculiar?

Para começar a descobrir o que há de tão surpreendente no 142857, vale a pena multiplicá-lo.

Não se preocupe: nós fazemos isso por você — basta observar o resultado.

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Percebeu que todos os resultados contêm os mesmos dígitos, apenas em ordem diferente?

Nosso número é composto por seis dígitos e, ao multiplicá-lo por cada número de 1 a 6, obtemos todas as rotações possíveis dessas seis cifras.

Essa propriedade incomum o transforma, em termos matemáticos, em um número cíclico — isto é, um número de n dígitos que, ao ser multiplicado por qualquer inteiro de 1 a n, produz como resultado uma rotação de seus próprios dígitos na mesma ordem circular.

Mas voltemos a observar as multiplicações, porque há outras peculiaridades.

Por exemplo, quando multiplicamos 142857 por 3, o resultado é 428571.

É como se os números estivessem ligados por um fio circular invisível: se você cortar esse fio em qualquer ponto, o resultado continua seguindo o padrão no sentido horário.

Nesse caso, é como se tivéssemos cortado o fio entre os números 1 e 4, mas os dígitos que seguem o 4 mantêm a mesma ordem, até completar o círculo.

Isso acontece com todos: ao multiplicá-lo por 6, o resultado começa com 8 e continua com os números que aparecem ao girar: 5, 7, 1, 4 e 2.

Mas o que acontece se você cruzar o limite e multiplicar 142857 por 7?

Se multiplicarmos 142857 por 7, algo surpreendente acontece: o resultado é 999999.

É como se, depois de seis rotações mágicas, o número quisesse continuar nos divertindo.

Já que estamos falando de noves, podemos até brincar com suas partes:

14 + 28 + 57 = 99

142 + 857 = 999

1428 + 5714 + 2857 = 9999

Deixamos convenientemente de fora 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 porque dá 27? Sim — embora, se formos fiéis ao padrão de resultados com o mesmo número de dígitos que a soma, 2 + 7 = 9.

Outra curiosidade é que, se você inserir um 9 no centro do número, de modo que fique 142 9 857, ao multiplicá-lo por qualquer número de 1 a 6, o produto mantém a natureza cíclica, conservando sempre um 9 no centro.

Voltando a 142857 × 7, o resultado não é casual: está diretamente relacionado ao fato de que 142857 é o período decimal de 1/7, e essa relação explica por que seus dígitos giram com tanta harmonia e por que seu "carrossel" funciona de maneira tão perfeita.

Se você dividir 1 por 7, obtém:

1 ÷ 7 = 0,142857142857142857…

Os seis dígitos (142857) se repetem indefinidamente. Esse bloco repetitivo é o que, na teoria dos números, se chama período da fração decimal.

Agora vem a chave: quando você divide 2, 3, 4, 5 ou 6 por 7, a sequência 142857 reaparece sempre, mas começando em um ponto diferente do ciclo.

E então o ciclo se fecha:

7 ÷ 7 = 1

Assim, o 999999 que apareceu quando multiplicamos 142857 por 7 não é coincidência: é o eco desse 1, que em linguagem matemática também pode ser escrito como 0,999999…

Se quiser ver isso em um exemplo mais cotidiano, divida o número de dias do ano pelo número de dias da semana:

365 ÷ 7 = 52,142857

Aí está nosso número, precedido por 52, que são as semanas de um ano.

Esse 0,142857 adicional equivale a 1 dia.

De fato, a cada ano não bissexto, o calendário "avança" um dia da semana. Por exemplo: se um ano começa numa segunda-feira, o seguinte começará numa terça-feira.

Se quiser ver essa relação entre 7 e 142857 ao contrário, aqui está:

1 ÷ 142857 = 0,000007000007…

Será que a brincadeira acaba se passarmos do 7?

142857 × 8 = 1142856

À primeira vista, parece que sim. Mas, se pegarmos o resultado, separarmos o primeiro dígito e o somarmos ao restante, obtemos:

1 + 142856 = 142857 — o número original, começando pelo menor dígito.

Pode parecer um pouco forçado, mas acontece que, se continuarmos fazendo o mesmo, o número cíclico aparece repetidamente, começando sempre por seus dígitos em ordem crescente (1, 2, 4, 5, 7, 8):

142857 × 9 = 1285713 → 1 + 285713 = 285714

142857 × 10 = 1428570 → 1 + 428570 = 428571

142857 × 11 = 1571427 → 1 + 571427 = 571428

E assim continua, até chegar a:

142857 × 14 = 1999998

1 + 999998 = 999999

Algo parecido acontece ao multiplicar por 21 (2 999 997 → 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35…

Enfim, você provavelmente já percebeu o padrão: todos são múltiplos de 7.

Os matemáticos da matemática recreativa foram ainda mais longe para ver se conseguem voltar ao número original.

Um exemplo, entre muitos, é:

142857 × 142857 = 20408122449

Marcando 6 dígitos (n) a partir da direita e somando o restante:

122449 + 20408 = 142857

Se isso parece pouco…

142857 × 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952

E, usando o mesmo método de pegar grupos de 6 dígitos a partir da direita:

183952 + 040260 + 918644 = 1142856

Como o resultado passa de 6 dígitos, fazemos:

1 + 142856 = 142857

Em resumo, por maior ou mais complicada que seja a trajetória, 142857 sempre encontra o caminho de volta.

Embora 7 e 142857 sejam especiais, não são únicos.

Muitos outros já foram encontrados, embora não se saiba quantos existam ao todo.

O que se sabe é que, entre todos, 142857 se destaca não apenas por ser o primeiro que normalmente encontramos, mas também por ser o único que não começa com zero.

O próximo número cíclico que aparece é 0588235294117647, que é o resultado de dividir 1 por 17.

Seus 16 dígitos comportam-se de maneira semelhante: ao multiplicá-los por qualquer número de 1 a 16, o produto é sempre uma rotação cíclica desses mesmos dígitos, apenas com um "carrossel" mais longo.

E quando o multiplicamos por 17, o resultado é 9999999999999999 — isto é, 16 noves, assim como 142857 × 7 produz seis noves.

Repare em algo que os caracteriza: a quantidade de dígitos que compõem um número cíclico é sempre um a menos que o número que o gera.

O gerado pelo 7 tem 6 dígitos.

O gerado pelo 17 tem 16 dígitos.

Outra particularidade fundamental aparece quando observamos os números menores que 100 que geram números cíclicos:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.

Todos são números primos (apenas divisível por 1 e por si próprio).

Embora nem todos os números primos produzam um número cíclico, todos os números cíclicos nascem de um primo.

Para ter essa "capacidade de criar" números cíclicos, o número primo precisa cumprir uma propriedade especial: ao dividir 1 por ele, deve-se obter uma sequência repetitiva de dígitos cuja extensão é exatamente um a menos que o valor do número.

Graças a isso, os dígitos podem girar em um carrossel perfeito, sem que nenhum desapareça ou se repita antes da hora. Esse é o segredo que garante que cada dígito tenha seu lugar e que o ciclo nunca se rompa.

Até hoje, os números cíclicos não têm aplicações práticas diretas em engenharia, finanças ou ciência aplicada, mas já foram úteis em áreas como a teoria dos números, a criptografia teórica e a teoria da codificação.

Entre as fontes consultadas para este texto estão o capítulo 10 do livro "Mathematical Circus", de Martin Gardner, e o site Math1089.